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Suites numériques – Fiche de révision

Sommaire
Introduction
Définition d’une suite numérique
Notion de convergence
Types de suites
Suite arithmétique
Suite géométrique
Calculs sur les suites
Conclusion
Références

Introduction

Une suite numérique est une succession de nombres définie par une règle de construction. C’est un outil mathématique qui permet de modéliser et d’analyser certains phénomènes naturels ou industriels.

Les suites numériques peuvent être discrètes ou continues. Les suites discrètes sont constituées de nombres entiers, tandis que les suites continues sont constituées de nombres décimaux.

Les suites numériques peuvent également être finies ou infinies. Une suite numérique est dite finie si elle comporte un nombre fini d’éléments. Elle est dite infinie si elle comporte un nombre infini d’éléments.

Enfin, les suites numériques peuvent être régulières ou irrégulières. Une suite numérique est dite régulière si tous ses éléments sont égaux entre eux. Elle est dite irrégulière si ses éléments ne sont pas égaux entre eux.

Les suites numériques sont des outils mathématiques très utiles pour modéliser et analyser certains phénomènes naturels ou industriels. Elles permettent notamment de mieux comprendre et d’analyser les différents types de variations qui existent dans ces phénomènes.

Définition d’une suite numérique

Une suite numérique est une suite de nombres ordonnés. Elle peut être finie ou infinie.

Dans une suite numérique, on peut identifier un premier nombre, appelé terme initial, ainsi qu’une règle de construction permettant de déterminer les nombres suivants.

Par exemple, la suite (u_n) définie par :
u_1 = 1 et pour tout entier naturel n, u_n+1 = 2u_n – 1
est une suite numérique.

On dit que la suite (u_n) converge vers un nombre réel l si, pour tout nombre réel positif ε, il existe un entier N tel que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à N, on a :
|u_n – l| < ε

Notion de convergence

Les suites numériques sont des suites de nombres ayant une relation de progression ou de régression entre chaque terme. La convergence d’une suite numérique est la propriété pour laquelle les termes de la suite tendent vers un nombre donné lorsque le nombre d’itérations tend vers l’infini. La notation limite(u(n)) = L signifie que la suite u(n) converge vers L.

Dans le cas d’une suite arithmétique, la convergence est évidente car les termes de la suite sont tous égaux à un nombre donné, L. Par exemple, la suite 2, 4, 6, 8, 10,… converge vers 10 car tous les termes de la suite sont égaux à 10.

Dans le cas d’une suite géométrique, la convergence est aussi évidente car les termes de la suite sont tous égaux à un nombre donné, L. Par exemple, la suite 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,… converge vers 0 car tous les termes de la suite sont égaux à 0.

La convergence d’une suite numérique n’est pas toujours évidente. Par exemple, la suite 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,… ne converge pas vers 0 car les termes de la suite ne sont pas égaux à 0. Cependant, la suite 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,… converge vers 1/2 car les termes de la suite tendent vers 1/2 lorsque le nombre d’itérations tend vers l’infini.

Types de suites

Il existe de nombreux types de suites numériques, mais on peut les regrouper en trois grandes catégories : les suites arithmétiques, les suites géométriques et les suites algébriques.

Les suites arithmétiques sont les suites dont chaque terme est obtenu en ajoutant une constante à la termes précédent. Elles ont donc une différence constante entre chaque terme. Par exemple, la suite 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 est une suite arithmétique car la différence entre chaque terme est égale à 1.

Les suites géométriques sont les suites dont chaque terme est obtenu en multipliant la termes précédent par une constante. Elles ont donc un rapport constant entre chaque terme. Par exemple, la suite 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 est une suite géométrique car le rapport entre chaque terme est égale à 2.

Les suites algébriques sont les suites dont chaque terme est obtenu en ajoutant une constante à la termes précédent puis en multipliant le tout par une autre constante. Elles ont donc une différence constante entre chaque terme, puis un rapport constant entre chaque terme. Par exemple, la suite 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 est une suite algébrique car la différence entre chaque terme est égale à 3 et le rapport entre chaque terme est égale à 1,5.

Suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite numérique dont les termes successifs sont tous égaux entre eux, à savoir : un = a1 + d. En d’autres termes, la différence entre deux termes quelconques de la suite arithmétique est constante.

Pour mieux comprendre, prenons l’exemple suivant : la suite arithmétique (SA) a1, a2, a3,…, an de premier terme a1 et de différence d est donnée par :

a1 = 1 ; d = 3
a2 = a1 + d = 1 + 3 = 4
a3 = a2 + d = 4 + 3 = 7
a4 = a3 + d = 7 + 3 = 10

an = a1 + (n – 1)d = 1 + (n – 1)3

Dans cet exemple, la différence entre deux termes successifs est égale à 3. C’est pourquoi, on dit que cette suite arithmétique est de différence 3.

Pour calculer un terme quelconque de la suite, on utilise la formule suivante :

an = a1 + (n – 1)d

Dans cette formule, « a1 » représente le premier terme de la suite, « d » représente la différence entre les termes et « n » représente le rang du terme que l’on veut calculer.

Par exemple, si l’on veut calculer le cinquième terme de la suite arithmétique (SA) présentée ci-dessus, on applique la formule :

a5 = a1 + (5 – 1)d
a5 = 1 + (5 – 1)3
a5 = 1 + 12
a5 = 13

Si vous avez bien suivi, vous avez dû remarquer que pour calculer un terme quelconque d’une suite arithmétique, il suffit de connaître le premier terme et la différence.

Maintenant que vous connaissez les bases, passons aux exercices !

Suite géométrique

Une suite géométrique, c’est une suite numérique dans laquelle chaque terme est le produit du terme précédent par une même valeur appelée raison de la suite. C’est donc une suite arithmétique dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est toujours égale à la raison de la suite.

Par exemple, la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3 est : 2 ; 2×3 ; (2×3)×3 ; ((2×3)×3)×3, etc. On note : {2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162 ; 486 ; 1458 ; …}.

Pour calculer un terme quelconque d’une suite géométrique, on utilise la formule : un = a1 × rn-1.

Dans cette formule, a1 est le premier terme de la suite, r est la raison de la suite et n est le rang du terme que l’on cherche.

Par exemple, pour calculer le rang du premier terme de la suite géométrique précédente, on applique la formule : un = a1 × rn-1 avec a1 = 2, r = 3 et n = 1. On trouve : 2 = 2 × 31-1.

De même, pour calculer le rang du deuxième terme, on applique la formule avec a1 = 2, r = 3 et n = 2. On trouve : 6 = 2 × 32-1.

En général, pour calculer le rang du nieme terme, on applique la formule avec a1 = 2, r = 3 et n = n. On trouve : un = 2 × 3n-1.

Calculs sur les suites

Une suite numérique est une suite de nombres définie par une règle de construction. C’est-à-dire que, à partir d’un nombre (appelé nombre de départ), on applique une règle pour obtenir le nombre suivant de la suite. On peut également définir une suite numérique à l’aide d’une formule.

Pour calculer un élément quelconque d’une suite numérique, on utilise la formule générale qui s’applique à toute suite arithmétique : un = a1 + (n – 1)d

Dans cette formule, a1 est le premier élément de la suite, n est le rang de l’élément que l’on veut calculer (on commence à compter à partir de 1), et d est la différence commune.

Par exemple, pour calculer le cinquième élément de la suite arithmétique suivante :

a1 = 2 ; d = 3

On applique la formule :

un = a1 + (n – 1)d

un = 2 + (5 – 1)3

un = 2 + 12

un = 14

Donc, le cinquième élément de cette suite arithmétique est 14.

Pour calculer un élément quelconque d’une suite géométrique, on utilise la formule générale : un = a1 × rn-1

Dans cette formule, a1 est le premier élément de la suite, n est le rang de l’élément que l’on veut calculer (on commence à compter à partir de 1), et r est le rapport commun.

Par exemple, pour calculer le cinquième élément de la suite géométrique suivante :

a1 = 2 ; r = 3

On applique la formule :

un = a1 × rn-1

un = 2 × 3⁴

un = 2 × 81

un = 162

Donc, le cinquième élément de cette suite géométrique est 162.

Conclusion

Au moment de aborder les suites numériques en classe de Terminale S, il est important de bien connaître les différents types de suites numériques, ainsi que les propriétés qui leur sont associées. Cette fiche de révision vous aidera à mieux comprendre les suites numériques, en vous fournissant une définition claire de ce qu’est une suite numérique, ainsi que les différents types de suites numériques. Vous y trouverez également une explication des propriétés associées aux suites numériques, ainsi que des exemples détaillés.

Une suite numérique est une suite de nombres, généralement réels, qui est définie par une règle de construction. Il existe plusieurs types de suites numériques, notamment les suites arithmétiques, les suites géométriques, les suites exponentielles et les suites logarithmiques.

Les suites arithmétiques sont des suites numériques dans lesquelles chaque terme est obtenu en ajoutant une constante à le terme précédent. Les suites géométriques sont des suites numériques dans lesquelles chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante. Les suites exponentielles sont des suites numériques dans lesquelles chaque terme est obtenu en elevant le terme précédent à une puissance. Les suites logarithmiques sont des suites numériques dans lesquelles chaque terme est obtenu en prenant le logarithme du terme précédent.

Les propriétés associées aux suites numériques sont la convergence et la divergence. La convergence d’une suite numérique est atteinte lorsque le nombre limite, c’est-à-dire le nombre vers lequel tend la suite numérique, est atteint. La divergence d’une suite numérique est atteinte lorsque le nombre limite n’est pas atteint.

Pour mieux comprendre les suites numériques, voici un exemple détaillé :

Soit la suite numérique suivante : 1,2,3,4,5,6,7,…

Cette suite numérique est une suite arithmétique, car elle est construite en ajoutant une constante à chaque terme. La constante ici est 1. On dit que cette suite arithmétique converge vers 8, car si on ajoute 1 à chaque terme, on obtient la suite suivante : 2,3,4,5,6,7,8,… Et si on continue à ajouter 1 à chaque terme, on obtient la suite suivante : 3,4,5,6,7,8,9,…

On voit donc que, dans cet exemple, la suite arithmétique converge vers 8, car c’est le nombre limite de la suite.

Références

Dans les suites numériques, on étudie une suite de nombres en fonction de leur position dans la suite. Pour cela, on note généralement les nombres de la suite de manière croissante et on les représente sous forme de tableau :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \cdots \\
\hline
u_n & u_1 & u_2 & u_3 & u_4 & u_5 & \cdots \\
\hline
\end{array}

On appelle termes de la suite les nombres $u_n$, et on note $a_n$ leur position dans la suite.

Les suites numériques peuvent être définies de différentes manières :

– Par une relation de récurrence : on donne la valeur du premier terme $u_1$, et on définit les autres termes $u_n$ à partir d’une relation qui les relie aux termes précédents ;

– Par une formule explicite : on donne une expression permettant de calculer directement la valeur du terme $u_n$ à partir de sa position $n$ dans la suite.

Dans les deux cas, on peut également déterminer une condition nécessaire et/ou suffisante pour que la suite soit finie, c’est-à-dire pour qu’elle ait un nombre fini de termes.

On dit qu’une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers un nombre $L \in \mathbb{R}$ si, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un entier $N \in \mathbb{N}$ tel que, pour tout $n \geq N$, on ait $|u_n – L| < \varepsilon$. Intuitivement, cela signifie que, lorsque $n$ est suffisamment grand, les termes de la suite sont « proches » de $L$. On dit qu’une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est monotone si, ou bien les termes de la suite sont tous positifs et croissants, ou bien les termes de la suite sont tous négatifs et décroissants. On dit qu’une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée si les termes de la suite sont tous compris entre deux nombres $M$ et $m$, c’est-à-dire si $m \leq u_n \leq M$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Enfin, on dit qu’une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est à termes positifs (resp. négatifs, strictement positifs, strictement négatifs) si les termes de la suite sont tous positifs (resp. négatifs, strictement positifs, strictement négatifs).

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